Short description:

Im ersten Teil dieses Buches erklären die Autoren, wie man sich der ebenen Geometrie mit Mitteln der linearen Algebra nähern kann. Ausgehend von einer Formalisierung des Kongruenzbegriffs unter Verwendung abstandserhaltender Abbildungen werden die Kongruenzsätze bewiesen und auf dem Weg dahin Spiegelungen, Rotationen, Translationen und Schubspiegelungen eingeführt und wichtige Eigenschaften nachgewiesen. Der verwendete Beweis des Kongruenzsatzes SSS liefert den Ausgangspunkt um den Dreispiegelunssatz zu zeigen und damit alle abstandserhaltenden Abbildungen des euklidischen Vektorraums durch Spiegelungen auszudrücken.
                Im zweiten Teil des Buches beschreiben die Autoren dann einen axiomatischen Zugang zur ebenen Geometrie. Dieser baut auf metrischen Räumen auf und verwendet neben dem Parallelenaxiom nur zwei weitere Axiome um die Geometrie zu beschreiben, die aus der Schulmathematik bekannt ist. Dabei wird deutlich, dass sich viele Ideen aus Teil 1 des Buches auch ohne die Grundlagen der linearen Algebra nutzen lassen. In diesem Axiomensystem werden alle wichtigen Begriffe der Schulgeometrie eingeführt und miteinander in Verbindung gesetzt. So ergibt sich ein rigoroser mathematischer Hintergrund der Elementargeometrie. Anhand zahlreicher Beispiele wird insbesondere gezeigt, wie auf dieser Grundlage typische Begriffe der Schulgeometrie definiert und typische Sätze bewiesen werden können. Am Ende des zweiten Teiles wird mit geometrischen Argumenten bewiesen, dass jede Realisierung des behandelten Axiomensystems isometrisch isomorph zum RR^2 mit dem Standard-Skalarprodukt ist. Dieses Resultat verdeutlicht, wie man die aus der Oberstufe bzw. aus dem Studium bekannte algebraische Vektorraumstruktur aus rein elementargeometrischen Überlegungen heraus erzeugen kann.
                Die Schnittstellen zwischen Schulmathematik und axiomatischer Geometrie werden am Beispiel der Begriffe Kongruenz und Symmetrie vertieft. Damit werden die für das Verständnis der (Schul-)Geometrie wichtigen Zusammenhänge zwischen den Begriffen Isometrie, Kongruenz und Symmetrie transparent gemacht und in schultypische Kontexte eingebettet.
                Dieses Buch eignet sich zum Selbststudium für Studierende, die in die faszinierende Welt der Geometrie eintauchen möchten, ebenso wie für Lehrerinnen und Lehrer, die mehr über Definitionen und Zusammenhänge der im Unterricht verwendeten Begriffe erfahren wollen. Für den Einsatz in der Lehre enthält das Buch zusätzliche Kommentare für Dozentinnen und Dozenten, die den Aufbau des Buches auf der Metaebene erklären und zusätzliche didaktische Hintergrundinformationen liefern.

Die Autoren
Dr. Max Hoffmann ist Lehrer für Mathematik und Informatik. Aktuell forscht und lehrt er an der Universität Paderborn in der Mathematikdidaktik.
Prof. Dr. Joachim Hilgert ist Professor im Ruhestand an der Universität Paderborn und hat zuvor die Arbeitsgruppe "Lie-Theorie" geleitet.
Prof. Dr. Tobias Weich forscht und lehrt an der Universität Paderborn und leitet dort die Arbeitsgruppe "Spektralanalysis".

Long description:

In diesem Lehrbuch stellen die Autoren einen axiomatischen Zugang zur ebenen Geometrie dar, der im Vergleich zu den Hilbertaxiomen und anderen oft gewählten Zugängen strukturelle und didaktische Vorteile bietet. Dieser auf metrischen Räumen basierende Zugang wird ausführlich motiviert und didaktisch aufbereitet. Ein besonderes Augenmerk liegt auf der besseren Verzahnung der Mathematikausbildung der Lehramtsstudierenden mit dem Schulstoff. In Ergänzung des axiomatischen Zugangs erklären die Autoren  auch, wie man sich der ebenen Geometrie mit Mitteln der linearen Algebra nähern kann und stellen so den Bezug zur analytischen Geometrie der Oberstufe her.

Als weitere Schnittstellen zwischen Schulmathematik und axiomatischer Geometrie werden die Begriffe Kongruenz und Symmetrie vertieft und so wichtigen Zusammenhänge zwischen den Begriffen Isometrie, Kongruenz und Symmetrie transparent gemacht und in schultypische Kontexte eingebettet.

Table of Contents:

Teil I.- 1 Kongruenz, Spiegelung und SSS.- 2 Klassifikation der euklidischen Isometrien des R2.- 3 Kongruenz.- Teil II.- 4 Geometrische Grundbegriffe in metrischen Räumen.- 5 Ebene neutrale Geometrie in metrischen Räumen.- 6 Vertiefungen zu neutralen Ebenen.- 7 Symmetrie.- Teil III.- 8 Parallelität in der neutralen Ebene.- 9 Euklidische Ebenen.- 10 Vertiefungen zu euklidischen Ebenen.